POLECAMY
Ekonomia matematyczna zajmuje się badaniem zjawisk gospodarczych przy użyciu zaawansowanych technik matematycznych, takich jak analiza szeregów czasowych czy programowanie dynamiczne. Opracowanie zawiera m.in. tematykę niepodejmowaną w innych publikacjach z dziedziny:
uogólnienia wypukłości oraz ich zastosowanie w problematyce ekonomicznej,
pojęcie funkcji dyskretnych,
równania i układy równań różnicowych, coraz szerzej stosowane we wszystkich naukach, w tym naukach ekonomicznych.
W podręczniku, oprócz treści teoretycznych, znajdują się również zadania z przykładowymi rozwiązaniami oraz zadania do samodzielnego rozwiązania.
Podręcznik przydatny dla studentów oraz wykładowców kierunków matematycznych i ekonomicznych. Polecany zwłaszcza dla studentów specjalności: matematyka finansowa i ubezpieczeniowa, matematyka ekonomiczna oraz specjalności zastosowania matematyki.
Rok wydania | 2011 |
---|---|
Liczba stron | 496 |
Kategoria | Metody ilościowe |
Wydawca | Wydawnictwo Naukowe PWN |
ISBN-13 | 978-83-01-16550-5 |
Numer wydania | 1 |
Język publikacji | polski |
Informacja o sprzedawcy | ePWN sp. z o.o. |
POLECAMY
Ciekawe propozycje
Podstawy gospodarki odpadami
do koszyka
Podstawy rachunkowości
do koszyka
Spis treści
Wstęp XI | |
1. Konstrukcja modelu matematycznego | 1 |
2. Relacje. Teoria preferencji konsumenta | 4 |
2.1. Zbiory. Relacje | 4 |
2.2. Relacja preferencji | 7 |
2.3. Zbior budżetowy | 13 |
2.4. Przykłady dwuargumentowych preferencji | 16 |
2.5. Zadania | 19 |
3. Liczby zespolone | 25 |
3.1. Definicje i podstawowe własności | 25 |
3.2. Postać algebraiczna (kartezjańska) liczby zespolonej | 26 |
3.3. Postać trygonometryczna liczby zespolonej | 28 |
3.4. Postać wykładnicza liczby zespolonej | 32 |
3.5. Pierwiastkowanie liczb zespolonych | 33 |
3.6. Wielomiany zespolone | 36 |
3.7. Zadania | 38 |
4. Macierze. Wyznaczniki macierzy | 42 |
4.1. Macierze, działania na macierzach | 42 |
4.2. Wyznacznik macierzy kwadratowej | 46 |
4.3. Macierz odwrotna | 50 |
4.3.1. Liniowa niezależność wektorow | 51 |
4.4. Rząd macierzy | 52 |
4.5. Potęga i eksponens macierzy. Metoda Jordana | 54 |
4.5.1. Wartości i wektory własne macierzy | 55 |
4.5.2. Diagonalizacja macierzy | 56 |
4.5.3. Potęgowanie, eksponens macierzy | 57 |
4.6. Zadania | 61 |
5. Układy rownań liniowych | 67 |
5.1. Pojęcia podstawowe | 67 |
5.2. Układ Cramera | 68 |
5.3. Rozwiązanie dowolnego układu liniowego | 70 |
5.4. Metoda badania rzędów macierzy | 74 |
5.5. Układy jednorodne | 76 |
5.6. Zadania | 77 |
6. Modele równowagi rynkowej | 83 |
6.1. Częściowa równowaga rynkowa | 84 |
6.1.1. Liniowy model rynku, przypadek jednego towaru | 84 |
6.1.2. Model nieliniowy, przypadek jednego towaru | 86 |
6.2. Ogólna równowaga rynkowa | 86 |
6.2.1. Model rynku dwóch towarów | 87 |
6.2.2. Model rynku n towarów | 87 |
6.3. Model input-output (nakładów i wyników). Model Leontiefa | 88 |
6.3.1. Równania bilansowe międzygałęziowej produkcji globalnej | 89 |
6.3.2. Równania bilansowe kosztów | 91 |
6.3.3. Współczynniki efektywności procesu gospodarczego | 94 |
6.3.4. Macierz struktury kosztów | 95 |
6.3.5. Model zamknięty | 98 |
6.4. Zastosowania | 100 |
6.4.1. Wyznaczenie poziomu produkcji. Opłacalność produkcji. Nakład pierwotny | 100 |
6.4.2. Wyznaczenie produktu końcowego | 100 |
6.4.3. Wzrost produktu końcowego | 101 |
6.4.4. Wzrost poziomu produkcji | 101 |
6.4.5. Określenie wielkości nakładów pracy | 102 |
6.4.6. Analiza nakładów i wyników w przedsiębiorstwie | 103 |
6.4.7. Określenie poziomu produkcji firmy | 104 |
6.4.8. Zapotrzebowanie produkcyjne na materiały i energię | 105 |
6.4.9. Plan wykorzystania maszyn i urządzeń | 106 |
6.4.10. Określenie zatrudnienia | 106 |
6.5. Zadania | 107 |
7. Funkcje jednej zmiennej | 113 |
7.1. Granica funkcji jednej zmiennej | 113 |
7.1.1. Asymptoty funkcji | 117 |
7.1.2. Ciągłość funkcji | 119 |
7.1.3. Pochodna funkcji | 122 |
7.2. Zastosowania pochodnych. Reguła de l’Hospitala | 126 |
7.3. Monotoniczność, ekstrema lokalne i globalne funkcji | 127 |
7.4. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkty przegięcia. Badanie przebiegu funkcji | 131 |
7.5. Ekonomiczne charakterystyki funkcji jednej zmiennej | 134 |
7.5.1. Wielkości przeciętne, krańcowe funkcji | 134 |
7.5.2. Wartość jednostkowa funkcji | 136 |
7.5.3. Elastyczność funkcji | 138 |
7.5.4. Tempo wzrostu funkcji | 141 |
7.6. Zadania | 142 |
8. Rachunek całkowy | 148 |
8.1. Całka nieoznaczona | 148 |
8.1.1. Całki nieoznaczone podstawowych funkcji elementarnych | 149 |
8.1.2. Metoda całkowania przez części i przez podstawienie | 150 |
8.1.3. Całki funkcji wymiernych | 151 |
8.1.4. Całki funkcji trygonometrycznych | 155 |
8.1.5. Całki wybranych funkcji niewymiernych | 157 |
8.2. Całka oznaczona | 158 |
8.3. Całka niewłaściwa | 161 |
8.4. Zastosowania w ekonomii | 163 |
8.5. Zadania | 169 |
9. Funkcje wielu zmiennych | 174 |
9.1. Pojęcia wstępne | 174 |
9.2. Granica funkcji w punkcie | 176 |
9.2.1. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych | 177 |
9.2.2. Gradient. Pochodna kierunkowa | 179 |
9.2.3. Różniczka funkcji | 181 |
9.2.4. Ekstrema lokalne funkcji | 182 |
9.2.5. Ekstremum warunkowe funkcji | 185 |
9.2.6. Ekstremum globalne funkcji wielu zmiennych | 186 |
9.3. Funkcje uwikłane | 187 |
9.4. Ekonomiczne charakterystyki funkcji wielu zmiennych | 189 |
9.4.1. Prosty model wymiany. Prostokąt Edgewortha | 194 |
9.5. Zadania | 197 |
10. Funkcje wypukłe, wklęsłe, quasi-wypukłe i quasi-wklęsłe | 202 |
10.1. Funkcje wypukłe i funkcje wklęsłe | 202 |
10.2. Funkcje quasi-wypukłe oraz quasi-wklęsłe | 209 |
10.3. Zadania | 216 |
11. Funkcje dyskretne | 219 |
11.1. Pojęcia podstawowe | 219 |
11.2. Rachunek różnicowy | 219 |
11.3. Operator antyróżnicowy | 223 |
11.4. Ekonomiczne charakterystyki funkcji dyskretnych | 228 |
11.5. Zadania | 230 |
12. Zagadnienia optymalizacji wypukłej | 232 |
12.1. Wiadomości wstępne | 232 |
12.1.1. Sformułowanie zagadnienia | 233 |
12.1.2. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej | 235 |
12.1.3. Optymalizacja funkcji wielu zmiennych | 236 |
12.2. Metoda nieokreślonych mnożników Lagrange’a | 238 |
12.2.1. Program nieliniowy w postaci standardowej | 245 |
12.3. Warunki i twierdzenie Karusha--Kuhna--Tuckera | 245 |
12.4. Zastosowania | 251 |
12.4.1. Prosty model wymiany, prostokąt (skrzynka) Edgewortha | 251 |
12.4.2.Model Arrowa--Hurwicza | 253 |
12.4.3.Model Arrowa--Debreu--McKenziego | 257 |
12.5. Zadania | 264 |
13. Funkcja użyteczności, popytu, podaży i kosztu | 268 |
13.1. Funkcja użyteczności | 268 |
13.1.1. Przykłady funkcji użyteczności | 268 |
13.1.2. Podstawowe własności funkcji użyteczności | 271 |
13.1.3. Charakterystyki funkcji użyteczności | 272 |
13.2. Maksymalizacja użyteczności konsumpcji (MUK) | 276 |
13.3. Funkcja popytu konsumenta | 279 |
13.3.1. Charakterystyki funkcji popytu | 280 |
13.4. Funkcja kosztu | 284 |
13.5. Zadania | 285 |
14. Funkcja produkcji | 291 |
14.1. Skalarna funkcja produkcji | 291 |
14.1.1. Standardowe założenia o skalarnej funkcji produkcji (postulaty funkcji produkcji) | 292 |
14.1.2. Przykłady funkcji produkcji | 293 |
14.2. Funkcja produkcji CES | 294 |
14.3. Szczególne przypadki funkcji CES | 300 |
14.3.1. Dwuargumentowa liniowa funkcja produkcji | 300 |
14.3.2. Dwuargumentowa funkcja produkcji Cobba--Douglasa | 302 |
14.3.3. Dwuargumentowa funkcja produkcji Koopmansa--Leontiefa | 303 |
14.4. Inne funkcje produkcji | 305 |
14.5. Długookresowa strategia przedsiębiorstwa (DSR) | 306 |
14.5.1.Maksymalizacja zysku (MZ) | 307 |
14.5.2.Minimalizacja kosztów (MK) | 309 |
14.5.3. Optymalizacja wielkości produkcji (OP) | 310 |
14.6. Krótkookresowa strategia przedsiębiorstwa (KSR) | 312 |
14.7. Zadania | 314 |
15. Równania różniczkowe | 320 |
15.1. Równania różniczkowe rzędu pierwszego | 321 |
15.1.1.Metoda uzmienniania stałej | 324 |
15.1.2.Metoda przewidywań | 325 |
15.1.3. Równanie Bernoulliego | 326 |
15.2. Równania różniczkowe rzędu drugiego | 327 |
15.2.1. Równania liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach | 330 |
15.3. Równanie różniczkowe k-go rzędu o stałych współczynnikach | 331 |
15.4. Stabilność równań różniczkowych. Linearyzacja | 336 |
15.5. Zastosowania równań różniczkowych | 342 |
15.5.1. Procenty składane | 342 |
15.5.2.Model wzrostu Domara | 342 |
15.5.3.Model Solowa | 345 |
15.5.4. Rozwoj populacji. Model Malthusa | 348 |
15.5.5.Model Verhulsta (logistyczny). Rozwój populacji z uwzględnieniem pojemności środowiska | 349 |
15.5.6.Model Gompertza | 351 |
15.5.7.Model Ludwiga rozwoju populacji | 352 |
15.5.8. Badanie przyczyny rozwodów | 353 |
15.5.9. Prosty model rynku | 353 |
15.5.10. Model rynku z określoną tendencją zmiany cen | 354 |
15.5.11. Zależności między bezrobociem i inflacją, model Phillipsa | 356 |
15.6. Zadania | 358 |
16. Równania różnicowe | 365 |
16.1. Równania różnicowe. Podstawy | 365 |
16.1.1. Liniowe równanie różnicowe rzędu pierwszego | 369 |
16.1.2. Liniowe równanie rzędu k-go o stałych współczynnikach | 371 |
16.1.3.Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego o stałych współczynnikach. Metoda uzmienniania stałych | 374 |
16.1.4.Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego o stałych współczynnikach. Metoda przewidywań | 376 |
16.2. Transformata Z | 378 |
16.3. Stabilność i linearyzacja nieliniowych równań różnicowych | 381 |
16.4. Zastosowania równań różnicowych | 383 |
16.4.1.Przyrost populacji w ujęciu dyskretnym. Model Malthusa | 383 |
16.4.2.Dyskretny model Verhulsta | 384 |
16.4.3.Model Fibonacciego | 385 |
16.4.4.Model pajęczynowy | 386 |
16.4.5.Rynek z określoną tendencją zmiany cen | 388 |
16.4.6.Model dochodu narodowego Samuelsona (model mnożnika i akceleratora) | 389 |
16.4.7.Model przepustowości. Teoria kolejek | 390 |
16.5. Zadania | 393 |
17. Układy równań różniczkowych zwyczajnych | 397 |
17.1. Układy równań różniczkowych. Wiadomości wstępne | 397 |
17.1.1.Metoda eliminacji | 397 |
17.2. Układy równań różniczkowych liniowych | 399 |
17.2.1.Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego | 402 |
17.2.2.Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach. Metoda Eulera | 406 |
17.3. Stabilność i asymptotyczna stabilność układów równań różniczkowych | 411 |
17.4. Linearyzacja nieliniowych układów równań różniczkowych | 414 |
17.5. Zastosowania układów równań różniczkowych | 417 |
17.5.1.Ciągły model Leontiefa nakładów i wyników w procesie produkcji | 417 |
17.5.2.Model nakładów i wyników obejmujący akumulację zapasów | 418 |
17.5.3.Model Arrowa--Hurwicza | 419 |
17.5.4.Model Arrowa--Debreu--McKenziego | 420 |
17.5.5.Model inflacji i polityki monetarnej Obsta | 422 |
17.5.6.Model Lotki--Volterry (model konkurencji) | 422 |
17.5.7.Uogolniony model Lotki--Volterry | 424 |
17.5.8.Model epidemii Kermacka--McKendricka | 425 |
17.5.9.Model „Romeo i Julia” | 427 |
17.5.10. Układy o jednym (wielu) wejściu i wyjściu | 428 |
17.6. Zadania | 428 |
18. Układy równań różnicowych | 434 |
18.1. Układy równań różnicowych. Wiadomości wstępne | 434 |
18.1.1.Metoda eliminacji | 434 |
18.1.2.Układy równań różnicowych liniowych | 436 |
18.1.3.Metoda uzmienniania stałych wyznaczania rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego | 439 |
18.2. Układy równań różnicowych liniowych o stałych współczynnikach | 440 |
18.3. Stabilność rozwiązania układu równań różnicowych | 444 |
18.4. Zastosowania układów równań różnicowych | 446 |
18.4.1.Model rynku | 446 |
18.4.2.Dyskretny model Arrowa--Hurwicza | 446 |
18.4.3.Dyskretny model Leontiefa | 447 |
18.4.4.Model nakładów i wyników obejmujący akumulację zapasów | 448 |
18.4.5.Dyskretny model oddziałujących populacji | 448 |
18.4.6.Układy o jednym (wielu) wejściu i wyjściu | 452 |
18.5. Zadania | 453 |
Bibliografia | 457 |
Wykaz symboli | 459 |
Skorowidz | 461 |